![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea5df879e92ee3c33ee6fffb1ce38962d030130)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} z}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{2}\operatorname {d} z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49acb944a8d47d076e5359c90477531f68f5369a)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5542437e5d5cfbc34666bd9aac5bb731778d4562)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} z^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ae01c92c306f702560d3672ff46e11b7208cd2)
et ainsi de suite ; c’est-à-dire, en général, dans le n.ième ordre, ![{\displaystyle {\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac848d491e3fa7e4a76dde9f6b3c191185bfe094)
On voit, généralement, à l’inspection des dénominateurs, que le nombre des coefficiens différentiels du n.ième ordre d’une fonction d’un nombre quelconque
de variables doit être le même que le nombre des termes d’un polynome homogène complet de
dimensions, formé avec
lettres ; c’est-à-dire que ce nombre doit être[1]
![{\displaystyle {\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.{\frac {n+3}{3}}\ldots {\frac {n+m-1}{m-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4711614c13e72d8a2392fd8f1ed8b9b2370df113)
ou, ce qui revient au même,
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66a5d3cc52decc7bd1ec962f9c903f09aa59991)
(52)
Soit, par exemple, la fonction de deux variables
![{\displaystyle S=Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2Dx+2Ey+F,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8ad5ed6482b3de7c40aa1850079bbdc9950f27)
on aura
- ↑ Voy. Annales, tom. xiii, pag. 282.