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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{3}}},$

${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} z}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{2}\operatorname {d} z}},$

${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z^{2}}},$

${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} z^{3}}}\,;$

et ainsi de suite ; c’est-à-dire, en général, dans le n.^ième ordre, ${\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.$

On voit, généralement, à l’inspection des dénominateurs, que le nombre des coefficiens différentiels du n.^ième ordre d’une fonction d’un nombre quelconque $m$ de variables doit être le même que le nombre des termes d’un polynome homogène complet de $n$ dimensions, formé avec $m$ lettres ; c’est-à-dire que ce nombre doit être^[1]

${\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.{\frac {n+3}{3}}\ldots {\frac {n+m-1}{m-1}},$

ou, ce qui revient au même,

${\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}.\qquad$(52)

Soit, par exemple, la fonction de deux variables

$S=Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2Dx+2Ey+F,$

on aura

1. Voy. Annales, tom. xiii, pag. 282.