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$S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {G}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}{\frac {G^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} P^{3}}}{\frac {G^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

ou bien, en remettant pour $G$ sa valeur, développant et ordonnant par rapport à $g,$

$S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+\left\{{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \,;$

mais, d’un autre côté, puisque, par l’intermédiaire de $P,\ S$ est aussi fonction de $x,$ il s’ensuit que, lorsque $x$ se change en $x+g,\ S$ doit devenir

$S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;$

et ce dernier développement doit être identiquement le même que celui qui le précède ; quel que soit $g\,;$ on doit donc avoir

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\,;\qquad$(53)

c’est-à-dire que le coefficient différentiel d’une fonction d’une quantité qui est elle-même une fonction d’une variable s’obtient en multipliant le coefficient différentiel de la première fonction, pris par rapport à la seconde, considérée comme la variable, par le coefficient différentiel de celle-ci, pris par rapport à cette variable C’est ce que nous avions déjà vu.

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions données quelconques de la seule variable $x$, et soit $S$ une fonction donnée quelconque de $P$ et $Q\,;$ si $x$ se change en $x+g,\ P$ et $Q$ deviendront respectivement

$P+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \,;\quad Q+{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \,;$

de sorte qu’en représentant par $G$ et $H$ les accroissemens respectifs de $P$ et $Q$, on aura