![{\displaystyle S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {G}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}{\frac {G^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} P^{3}}}{\frac {G^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6786f4f8ec9e05cd0ec90029c94ce800d55381fb)
ou bien, en remettant pour
sa valeur, développant et ordonnant par rapport à ![{\displaystyle g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f2986cd965e404a1ee33ec84baee5c43da47fa)
![{\displaystyle S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+\left\{{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3721fb16f461a0a58a8daa23db9ea4b09a628d2)
mais, d’un autre côté, puisque, par l’intermédiaire de
est aussi fonction de
il s’ensuit que, lorsque
se change en
doit devenir
![{\displaystyle S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818b9c99313d27a4b85782f9cbd26cfebc33675e)
et ce dernier développement doit être identiquement le même que celui qui le précède ; quel que soit
on doit donc avoir
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9fd75f2c3c11d3490c73e7f5f6de4eb34c9e15)
(53)
c’est-à-dire que le coefficient différentiel d’une fonction d’une quantité qui est elle-même une fonction d’une variable s’obtient en multipliant le coefficient différentiel de la première fonction, pris par rapport à la seconde, considérée comme la variable, par le coefficient différentiel de celle-ci, pris par rapport à cette variable C’est ce que nous avions déjà vu.
Soient
et
deux fonctions données quelconques de la seule variable
, et soit
une fonction donnée quelconque de
et
si
se change en
et
deviendront respectivement
![{\displaystyle P+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \,;\quad Q+{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1cd6ce133bf59682711aa3562c706854231cc8)
de sorte qu’en représentant par
et
les accroissemens respectifs de
et
, on aura