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$+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\right){\frac {h}{1}}+\ldots \,;$

mais, d’un autre côté, par l’intermédiaire de $P$ et $Q,\ S$ étant aussi fonction de $x$ et $y$, doit devenir, dans les mêmes circonstances,

${\begin{alignedat}{1}S&+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+\ldots \,;\end{alignedat}}$

or, ces deux développemens doivent être identiquement les mêmes, quels que soient la grandeur et le rapport des accroissemens $g$ et $h$ ; donc

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}.\quad$(57)

Si $S$ était fonction de trois quantités $P,Q,R,$ dont chacune fût fonction de $x$ et $y$, on trouverait semblablement

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} R}}{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} R}}{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} y}}\,;\end{aligned}}\right\}$(58)

et ainsi de suite. En rapprochant ces résultats des formules (53), (54), (55) on en conclura que, pour obtenir les coefficiens différentiels partiels d’une fonction de tant de quantités qu’on voudra, qui sont toutes fonctions de deux variables, il suffit d’opérer tour à tour, par rapport à chaque variable, comme si elle était seule.

Si, $P$ étant une fonction de trois variables $x,y,z,\ S$ était une fonction de $P,$ on trouverait, par de semblables considérations,