![{\displaystyle \operatorname {d} p=-{\frac {k\delta \left\{(x-x')\operatorname {d} x+(y-y')\operatorname {d} y+(z-z')\operatorname {d} z\right\}}{\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba1f349d5800767dce658f058b01a483d56f37b)
(1)
Mais
![{\displaystyle (x-x')\operatorname {d} x+(y-y')\operatorname {d} y+(z-z')\operatorname {d} z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0451bb73a607c2e26c62547211ae269a8b6c28b2)
doit représenter la différentielle d’une surface quelconque de niveau, ou de l’une des surfaces sphériques concentriques de densité uniforme, ce qui donne
constantes. Transportant donc l’origine au point
ou, en d’autres termes, posant
l’équation (1) deviendra
![{\displaystyle \operatorname {d} p=-{\frac {k\delta (x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y+z\operatorname {d} z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f941ed55aa0cff7c3f1ab520845bb2147a8ec090)
ou, en désignant par
le rayon variable des couches de densité uniforme,
![{\displaystyle \operatorname {d} p=-{\frac {k\delta .r\operatorname {d} r}{r^{3}}}=-{\frac {k\delta .\operatorname {d} r}{r^{2}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b4fe5f48c8a23c6b0c9957344982b77e2cca2d)
(2)
Par la condition du problème, qui rend la densité
proportionnelle à la pression, on a
étant une nouvelle constante ; il en résulte
; d’où, en substituant dans l’équation (2),
![{\displaystyle h\operatorname {d} \delta =-{\frac {k\delta \operatorname {d} r}{r^{2}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8ed1d5e69d55563141aa04a28d2fb69860f8b0)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \quad h{\frac {\operatorname {d} \delta }{\delta }}=-k{\frac {\operatorname {d} r}{r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfbf8590407f5b9dff52a8ce8e311da338e55d1)
d’où, en intégrant
![{\displaystyle h\operatorname {Log} .{\frac {\delta }{A}}={\frac {k}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2037649ff446e4e0e3dc8cedec50332d29d3857b)
et par suite