Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/381

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{\frac {2M}{9448001}}=0{,}00000\ \ 00919\ \ 44207\ \ 43675

or, nous avons trouvé tout à l’heure

\operatorname {Log} .{\frac {2362}{405}}=0{,}76582\ \ 48700\ \ 62827\ \ 44032\,;

nous aurons donc exactement à vingt chiffres décimaux

\operatorname {Log} .58321=4{,}76582\ \ 49620\ \ 07034\ \ 87707.

^[1]

↑ Voici encore un moyen assez simple qui peut être employé dans bien des cas. Soit $p$ un très-grand nombre premier dont on veut obtenir le logarithme ; ce nombre est la demi-somme des deux nombres $p+1$ et $p-1.$ Or, on sait que, lorsque deux nombres sont très-grands et très-peu différens, leur demi-somme diffère très-peu de la racine quarrée de leur produit ; de sorte qu’à $\operatorname {Log} .p$ on pourra, sans erreur sensible, substituer $\operatorname {Log} .{\sqrt {(p+1)(p-1)}},$ c’est-à-dire ${\frac {\operatorname {Log} .(p+1)+\operatorname {Log} .(p-1)}{2}}$ ; or, comme $p+1$ et $p-1$ ne sont premiers ni l’un ni l’autre, il est fort possible qu’ils soient tous deux décomposables en facteurs qui n’excèdent point les limites des tables ; et alors on pourra, sans difficulté, obtenir le logarithme de $p$ .
Pour connaître à quelle erreur on s’expose, en employant ce procédé ; on remarquera que

$\operatorname {Log} .p-{\frac {\operatorname {Log} .(p+1)+\operatorname {Log} .(p-1)}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {p^{2}}{p^{2}-1}}$

$=M\left\{{\frac {1}{2p^{2}-1}}+{\frac {1}{3\left(2p^{2}-1\right)^{3}}}+\ldots \right\}\,;$

d’où l’on voit que l’erreur sera d’autant moindre que $p$ sera plus grand, et qu’on pourra compter sur un nombre tle chiffres décimaux double du nombre des chiffres de $p$ .

Dans le cas de l’exemple du texte, on aura

${\begin{aligned}&p+1=58322=241.242,\\&p-1=58320=216.270\,;\end{aligned}}$

ce qui donnera sensiblement

$\operatorname {Log} .58321={\frac {\operatorname {Log} .216+\operatorname {Log} .241+\operatorname {Log} .242+\operatorname {Log} .270}{2}},$

que l’on calculera comme il suit :

[p281-1] Voici encore un moyen assez simple qui peut être employé dans bien des cas. Soit $p$ un très-grand nombre premier dont on veut obtenir le logarithme ; ce nombre est la demi-somme des deux nombres $p+1$ et $p-1.$ Or, on sait que, lorsque deux nombres sont très-grands et très-peu différens, leur demi-somme diffère très-peu de la racine quarrée de leur produit ; de sorte qu’à $\operatorname {Log} .p$ on pourra, sans erreur sensible, substituer $\operatorname {Log} .{\sqrt {(p+1)(p-1)}},$ c’est-à-dire ${\frac {\operatorname {Log} .(p+1)+\operatorname {Log} .(p-1)}{2}}$ ; or, comme $p+1$ et $p-1$ ne sont premiers ni l’un ni l’autre, il est fort possible qu’ils soient tous deux décomposables en facteurs qui n’excèdent point les limites des tables ; et alors on pourra, sans difficulté, obtenir le logarithme de $p$ .
Pour connaître à quelle erreur on s’expose, en employant ce procédé ; on remarquera que

$\operatorname {Log} .p-{\frac {\operatorname {Log} .(p+1)+\operatorname {Log} .(p-1)}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {p^{2}}{p^{2}-1}}$

$=M\left\{{\frac {1}{2p^{2}-1}}+{\frac {1}{3\left(2p^{2}-1\right)^{3}}}+\ldots \right\}\,;$

d’où l’on voit que l’erreur sera d’autant moindre que $p$ sera plus grand, et qu’on pourra compter sur un nombre tle chiffres décimaux double du nombre des chiffres de $p$ .

Dans le cas de l’exemple du texte, on aura

${\begin{aligned}&p+1=58322=241.242,\\&p-1=58320=216.270\,;\end{aligned}}$

ce qui donnera sensiblement

$\operatorname {Log} .58321={\frac {\operatorname {Log} .216+\operatorname {Log} .241+\operatorname {Log} .242+\operatorname {Log} .270}{2}},$

que l’on calculera comme il suit :

[1]