![{\displaystyle {\frac {x+c}{2}},{\frac {y}{2}}\,;\qquad {\frac {x-c}{2}},{\frac {y}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee77ac9357123ed0c899e4075ce9ec3f14cd49ed)
on aura donc, en prenant tour à tour l’axe des
et celui des
pour axes des momens, et en désignant par
) le centre commun de gravité de ces deux rayons vecteurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a-{\frac {cx}{a}}\right){\frac {x+c}{2}}+\left(a+{\frac {cx}{a}}\right){\frac {x-c}{2}}=2ax',\\\\&\left(a-{\frac {cx}{a}}\right){\frac {y}{2}}+\left(a+{\frac {cx}{a}}\right){\frac {y}{2}}=2ay'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0a8e8e06f9f7ec0643126bf619a5c19228cd74)
ou, en développant et réduisant
![{\displaystyle ax-{\frac {cx^{2}}{a}}=2ax',\qquad ay=2ay'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b07a4046770653a3b229d3f4ce76effe274c40)
d’où on tirera
![{\displaystyle x={\frac {2a^{2}x'}{a^{2}-c^{2}}}={\frac {2a^{2}x'}{b^{2}}},\qquad y=2y'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42d8e5361b728b88a385fb155c7afbd38797267)
substituant ces valeurs dans l’équation (1), on aura, pour l’équation du lieu cherché,
![{\displaystyle \left({\frac {a}{2}}-{\frac {b}{a}}\right)^{2}x'^{2}+\left({\frac {b}{2}}-{\frac {b}{a}}\right)^{2}y'^{2}=\left({\frac {a}{2}}-{\frac {b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {b}{2}}-{\frac {b}{a}}\right)^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84801c910748b8da93afa20bdf0670c7cd4d09ac)
(3)
ce lieu est donc une autre ellipse, concentrique à la première, ayant ses axes dans les mêmes directions que les siens ; cette ellipse est semblable à l’autre, mais elle est tournée en sens inverse, et ses dimensions sont moitié moindres.
Si l’on veut résoudre le problème analogue pour l’hyperbole, il suffira de changer
en
ce qui conduira aux mêmes con-