Si l’on désigne par
la vîtesse initiale, répondant à la distance
on aura
![{\displaystyle V^{2}={\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}R^{2}+C\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd4f98c59b5624b7140150f987ef8254368d664)
d’où, en retranchant, transposant et extrayant les racines,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}={\sqrt {V^{2}+{\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}\left(r^{2}-R^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863cd2db568ae64acb541f4cb3362b566dcd302e)
c’est cette valeur qu’il faudrait substituer dans
![{\displaystyle N={\frac {4\varpi }{T}}.{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217b8ff0cddba2b1e781d305aea155337cd85c61)
pour avoir la valeur de la pression
en fonction de la distance ![{\displaystyle r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a)
On en tire
![{\displaystyle \operatorname {d} t={\frac {\operatorname {d} r}{\sqrt {V^{2}+{\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}\left(r^{2}-R^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325a6b3a6d6ebab70806285c876f3f3dc966f7ef)
qu’il suffit d’intégrer de nouveau pour avoir l’équation entre
et
dans laquelle substituant ensuite pour
sa valeur
![{\displaystyle t={\frac {T}{2\varpi }}(\theta -\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66b2a0e56076735c00aeb4aacd58db216b61dcf)
on aura l’équation polaire de la trajectoire décrite.
Supposons que la sphère soit liée au point
par un fils inextensible d’une longueur égale à
il est clair qu’alors son centre décrira uniformément une circonférence dont
sera le rayon et qui aura ce point
pour centre. Supposons qu’au moment où ce rayon
fait un angle
avec l’axe des abscisses, le fil vienne subitement à se rompre, on se trouvera alors dans le cas particulier du problème qui nous occupe, où il n’y aurait pas de vîtesse initiale ; l’équation ci-dessus deviendra donc alors simplement