![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3706f281ab2ae45aaf4ab1056a250715a284e7db)
(5)
mais
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93bf78a32803b47e698c573e4148523ba03179a2)
d’où l’on lire successivement
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}+z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}=r{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32e26763532a92486dbfdf6d4aba50af47fd727)
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}=r{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a47574a8de197b017ef4a71c6f4e78c1d636e4d)
c’est-à-dire (4)
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}=r{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57819b47f8f614dca113241342927b59ad8e6b6)
ou, en réduisant,
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=z{\frac {\operatorname {d} r^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}-r^{2}\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb9bce1ebcf8d44a20a4d1f14f0d1d40f72fef1)
donc finalement (5)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} r^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}-r\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3173c6e74ee955539dc102fb1d18ed2069caba)
c’est-à-dire que l’équation qui détermine la courbe décrite par le centre de la sphère sur la surface conique est la même que celle qui détermine son mouvement sur le plan ; et, comme l’on suppose que l’on a la même relation donnée entre
et
dans les deux cas, la valeur de
sera aussi la même pour les mêmes valeurs de ces deux variables ; ce qui démontre que le développement de la courbe décrite sur la surface conique est identiquement le même que la courbe