Le cas le plus simple est celui où l’on propose de déterminer l’état permanent des températures, auquel le corps ne peut arriver, en rigueur, qu’après un temps infini. Le mouvement de la chaleur est représentée alors par une équation linéaire du second ordre entre la température et sa fluxion seconde prise par rapport à l’abscisse . À cause de la fonction arbitraire relative au rayonnement, l’équation dont nous parlons est la plus générale de son espèce. Il s’agit d’en trouver l’intégrale complète. L’un des moyens que nous employons consiste à substituer à la courbe qui représente le pouvoir rayonnant, en fonction de l’abscisse, un polygone inscrit qui en diffère aussi peu qu’on veut. Le second, à développer la valeur de en une suite infinie, dont nous montrons généralement la convergence. L’un et l’autre se plient aisément aux calculs numériques, et partant sont susceptibles d’applications. Nous avons employé le premier, des l’année 1829, dans un mémoire qui ne traitait que du mouvement permanent, et que nous avons reproduit dans nos recherches de 1830.
Dans tous les cas, l’équation du problème étant linéaire et du second ordre, il suffit d’en connaître une intégrale particulière pour en trouver l’intégrale complète ; ou, pour traduire physiquement celle propriété mathématique, on traitera généralement la question du mouvement permanent de la chaleur dans une barre, si l’on résout par l’expérience cette même question, en assujétissant les extrémités de cette barre à des conditions particulières.
Les difficultés d’analyse s’accroissent déjà beaucoup lorsque c’est le mouvement linéaire et varié de la chaleur qu’on veut mesurer. La température devenant alors une fonction de l’abscisse et du temps dépend alors d’une équation aux différences partielles à deux variables indépendantes. Heureusement la seconde d’entre elles n’y entre qu’implicitement, ce qui permet d’employer les méthodes ordinaires. On développe la valeur de en une série d’exponentiels qui contiennent, en exposant, le temps multiplié par
