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${\begin{alignedat}{1}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{\mu }}{\operatorname {d} x^{2}}}=&\left(p_{\mu }+q_{\mu }x\right)u_{\mu },\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{n}}{\operatorname {d} x^{2}}}=&\left(p_{n}+q_{n}x\right)u_{n}\,;\end{alignedat}}$

l’intégration de ces équations introduira $2n$ constantes que l’on déterminera par ces $2n$ conditions

${\begin{alignedat}{3}u_{1}=&\theta ,&\ldots \ldots &\ldots &\mathrm {pour} \ x=&0,\\u_{1}=&u_{2}t,&{\frac {\operatorname {d} u_{1}}{\operatorname {d} x}}=&{\frac {\operatorname {d} u_{2}}{\operatorname {d} x}}&\mathrm {pour} \ x=&{\frac {l}{n}},\\\ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots \\u_{n-1}=&u_{n}t,&\quad {\frac {\operatorname {d} u_{n-1}}{\operatorname {d} x}}=&{\frac {\operatorname {d} u_{n}}{\operatorname {d} x}}&\quad \mathrm {pour} \ x=&(n-1){\frac {l}{n}},\\u_{n}=&\theta ',&\ldots \ldots &\ldots &\mathrm {pour} \ x=&l.\end{alignedat}}$

V. Toute la question ainsi ramenée à trouver l’intégrale complète de l’équation générale

(2)$\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{\mu }}{\operatorname {d} x^{2}}}=\left(p_{\mu }+q_{\mu }x\right)u_{\mu },$

se trouve réduite à un problème purement analitique, dont on parvient, sans beaucoup de peine, à obtenir la solution. Et d’abord, en posant

$p_{\mu }+q_{\mu }x=zq_{\mu }^{\frac {2}{3}},$

l’équation (2) se change en