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$\operatorname {f} (x)$ a été obtenue par interpolation, en mesurant, par exemple, sa valeur au point $\mathrm {A,}$ au point $\mathrm {B}$ et aux $n-1$ points intermédiaires également espacés entre eux de la quantité ${\frac {l}{n}}.$ Soient $b',b''$ les valeurs de $\operatorname {f} (x)$ à deux de ces points consécutifs, dont les abscisses sont $x',x''\,;$ faute de données plus positives, on pourra supposer que

$\operatorname {f} (x)={\frac {b'x''-b''x'}{x''-x'}}+{\frac {b''-b'}{x''-x'}}x.$

La barre se trouvera ainsi partagée en portions d’égale longueur, pour lesquelles la valeur de $\operatorname {f} (x)$ et l’équation (1) seront différentes, ce qui nécessitera de nouvelles conditions pour la détermination des nouvelles constantes arbitraires qu’introduira l’intégration de ces équations diverses. Ces conditions consistent évidemment en ce qu’aux divers points de partage de la barre, les valeurs de $u$ et ${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}$ doivent être les mêmes, soit qu’on les déduise de l’équation qui se rapporte à la partie antérieure au point de division dont il s’agit, ou qu’on les déduise de l’équation qui se rapporte à la portion située au-delà.

Je distinguerai par les numéros $1{,}2,3,\ldots \mu ,\ldots n$ les $n$ parties égales dans lesquelles la barre a été divisée. Je nommerai $u_{\mu }$ la température de la partie $\mu$, et $p_{\mu }-q_{\mu }x$ la valeur correspondante de ${\frac {\varepsilon \operatorname {f} (x)}{K\omega }}.$ De la sorte j’aurai ces $n$ équations indéfinies

${\begin{alignedat}{1}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{1}}{\operatorname {d} x^{2}}}=&\left(p_{1}+q_{1}x\right)u_{1},\\\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}=&\left(p_{2}+q_{2}x\right)u_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}$