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sécutifs oui répondent dans la série aux puissances $n-2$ et $n+1$ de $x$. Le rapport de ces deux termes sera ${\frac {P'}{P}}={\frac {z^{3}}{n(n+1)}}.$ Quelque grand nombre qu’on prenne pour $z$, en assignant à $n$ une valeur assez considérable, il sera toujours possible de rendre, plus grand que $P'\,;$ et, au-delà de cette valeur de $n$, le rapport ${\frac {P'}{P}}$ ira sans cesse en décroissant avec rapidité jusqu’à devenir nul. On arrivera donc, en considérant la série que nous prenons pour valeur de $u_{\mu }$ à un terme $P,$ tel que, si l’on forme la progression géométrique $P\left(1+\rho +\rho ^{2}+\ldots \right),$ où la raison est moindre que l’unité, et dont la somme est finie, le reste de la série sera moindre que cette somme ${\frac {P}{1-\rho }}.$

La valeur de $u_{\mu }$ se trouve donc ainsi exprimée par une série convergente, dans tous les cas possibles, servira à en calculer la valeur avec tel degré d’approximation que l’on voudra. Cette série a en outre l’avantage de s’exprimer élégamment, sous forme finie, par le secours d’une intégrale définie.

vii. Pour démontrer avec facilité cette proposition, j’écris la valeur de $u_{\mu }$, sous la forme

$1+{\frac {z^{3}}{1.2.3}}+{\frac {4z^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+{\frac {4.7z^{9}}{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}+\ldots \,;$

ou bien

$1+{\frac {1.z^{3}}{1.2.3}}+{\frac {1(1+3)z^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+{\frac {1(1+3)(1+3.2)z^{9}}{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}+\ldots \,;$

de sorte qu’en général on peut représenter ainsi deux termes sécutifs.

${\frac {1[1+3][1+3.2][1+3.3]\ldots [1+3(n-1)]}{1.2.3.4\ldots 3n}}z^{3n},$