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${\frac {1[1+3][1+3.2][1+3.3]\ldots \ldots [1+3(n-1)][1+3n]}{1.\quad 2.\qquad 3.\qquad \quad 4\ldots 3n.(3n+1)(3n+2)(3n+3)}}z^{3n+3}.$

Les numérateurs des fractions qui multiplient $z^{3n},z^{3n+3}$ étant représentés par $P_{n},P_{n+1},$ sont assujétis à l’équation $P_{n+1}=P_{n}(1+3n).$ La méthode indiquée par Laplace, dans sa Théorie analitique des probabilités, pour intégrer les équations aux différences finies étant ici applicable, on en déduit

$P_{n}=C\int _{0}^{\infty }\alpha ^{-{\frac {1}{3}}}.e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{n-1}.\operatorname {d} x\,;$

$C$ désignant la constante arbitraire et $e$ la base des logarithmes de Néper. Ainsi, la valeur de $u_{\mu }$ peut être transformée en une série telle que la suivante :

$C\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{-{\frac {2}{3}}}.\operatorname {d} x\left(1+{\frac {\alpha z^{3}}{1.2.3}}+{\frac {\alpha ^{2}z^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+{\frac {\alpha ^{3}z^{9}}{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}+\ldots \right).$

La série comprise entre les parenthèses a pour différentielle troisième, par rapport à $z$,

$\alpha \left(1+{\frac {\alpha z^{3}}{1.2.3}}+{\frac {\alpha ^{2}z^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+{\frac {\alpha ^{3}z^{9}}{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}+\ldots \right)\,;$

de sorte qu’en la représentant par $\lambda$, elle satisfait à l’équation ${\frac {\operatorname {d} ^{3}\lambda }{\operatorname {d} z^{3}}}=\alpha \lambda ,$ d’où résulte

$\lambda =C_{1}e^{z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+C_{2}e^{\rho z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+C_{3}e^{\rho ^{2}z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}\,;$

$C_{1},C_{2},C_{3}$ désignant des constantes, et $1,\rho ,\rho ^{2}$ étant les trois racines cubiques de l’unité ; et comme il est évident que, pour $z=0,$ on doit avoir $\lambda =1,\ {\frac {\operatorname {d} \lambda }{\operatorname {d} z}}=0,\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}\lambda }{\operatorname {d} z^{2}}}=0,$ on trouvera sans peine, en se rappelant que