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${\begin{alignedat}{1}{\frac {\operatorname {d} ^{2}U_{\mu +1}}{\operatorname {d} x^{2}}}=&(p_{\mu +1}+q_{\mu +1}x)U_{\mu +1},\\\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}V_{\mu +1}}{\operatorname {d} x^{2}}}=&(p_{\mu +1}+q_{\mu +1}x)V_{\mu +1},\end{alignedat}}$

qui ont lieu par la nature même des quantités $U_{\mu +1},V_{\mu +1},$ et dont on déduit

$U_{\mu +1}{\frac {\operatorname {d} ^{2}V_{\mu +1}}{\operatorname {d} x^{2}}}-V_{\mu +1}{\frac {\operatorname {d} ^{2}U_{\mu +1}}{\operatorname {d} x^{2}}}=0.$

Intégrant on a

$U_{\mu +1}{\frac {\operatorname {d} V_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}-V_{\mu +1}{\frac {\operatorname {d} U_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}=$Const.

Pour déterminer la constante du second membre, on remonte aux valeurs

${\begin{alignedat}{1}U_{\mu +1}=&1+{\frac {\left(p_{\mu +1}+q_{\mu +1}x\right)^{3}}{2.3q_{\mu +1}^{2}}}+\ldots \\\\V_{\mu +1}=&1+{\frac {p_{\mu +1}+q_{\mu +1}x}{q_{\mu +1}^{\frac {2}{3}}}}+\ldots \,;\end{alignedat}}$

et l’on voit, sans peine, que l’égalité devant subsister pour toutes les valeurs possibles de

${\frac {p_{\mu +1}+q_{\mu +1}x}{q_{\mu +1}^{\frac {2}{3}}}},$