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$u_{\mu }a=A_{\mu }U_{\mu }+B_{\mu }V_{\mu },$

et

${\frac {\operatorname {d} u_{\mu }}{\operatorname {d} x}}=A_{\mu }{\frac {\operatorname {d} U_{\mu }}{\operatorname {d} x}}+B_{\mu }{\frac {\operatorname {d} V_{\mu }}{\operatorname {d} x}},$

$u_{\mu +1}=A_{\mu +1}U_{\mu +1}+B_{\mu +1}V_{\mu +1},$

${\frac {\operatorname {d} u_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}=A_{\mu +1}{\frac {\operatorname {d} U_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}+B_{\mu +1}{\frac {\operatorname {d} V_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}.$

Soit fait, $r=\mu {\frac {l}{n}},$ et nommons

$\left(U_{\mu }\right),\ \left(V_{\mu }\right),\ \left({\frac {\operatorname {d} U_{\mu }}{\operatorname {d} x}}\right),\ \left({\frac {\operatorname {d} V_{\mu }}{\operatorname {d} x}}\right),$

$\left(U_{\mu +1}\right),\ \left(V_{\mu +1}\right),\ \left({\frac {\operatorname {d} U_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}\right),\ \left({\frac {\operatorname {d} V_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}\right),$

les valeurs correspondantes des quantités comprises entre les parenthèses. Les équations de condition seront

$A_{\mu }(U_{\mu })+B_{\mu }(V_{\mu })=A_{\mu +1}(U_{\mu +1})+B_{\mu +1}(V_{\mu +1}),$

$A_{\mu }\left({\frac {\operatorname {d} U_{\mu }}{\operatorname {d} x}}\right)+B_{\mu }\left({\frac {\operatorname {d} V_{\mu }}{\operatorname {d} x}}\right)=A_{\mu +1}\left({\frac {\operatorname {d} U_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}\right)+B_{\mu +1}\left({\frac {\operatorname {d} V_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}\right).$

On tire de là les valeurs de $A_{\mu +1},B_{\mu +1},$ en $A_{\mu },B_{\mu }.$ Le dénominateur commun de ces valeurs est

$\left(U_{\mu +1}\right)\left({\frac {\operatorname {d} V_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}\right)-\left(V_{\mu +1}\right)\left({\frac {\operatorname {d} U_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}}\right).$

Or, il est remarquable que ce dénominateur est constamment égal à $q_{\mu +1}^{\frac {1}{3}}.$ Cela résulte des équations