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$-\Sigma mu_{m}e^{-mt}=a^{2}\Sigma e^{-mt}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}-\operatorname {f} (x)\Sigma u_{m}e^{-mt},$

qui, devant être satisfaite quel que soit $t,$ donne cette équation générale

(b)$\qquad -mu_{m}=a^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}-u_{m}\operatorname {f} (x),$

pour déterminer $u_{m},$ et, par suite, $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,$ lorsqu’on connaîtra les valeurs de $m$.

L’équation (b) est une équation linéaire du second ordre, de même forme que celle qui a été étudiée dans la question du mouvement permanent. Son intégrale, qui comprend deux constantes arbitraires, peut s’obtenir dans tous les cas, au moins par approximation. Je nommerai $\varphi (x,m),\psi (x,m)$ deux intégrales particulières qui y satisfassent ; $A_{m},B_{m}$ deux constantes arbitraires. La valeur de $u_{m}$ s’écrira ainsi :

$u_{m}=A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m)\,;$

et l’on aura, pour la valeur de $u$,

$u=\Sigma \left\{A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m)\right\}e^{-mt}.$

xv. Les diverses valeurs de $m$ se déduisent des deux équations définies

${\begin{alignedat}{2}u=&\theta ,&\ \mathrm {pour} \ x=&l,\\u=&\theta ',&\ \mathrm {pour} \ x=&l',\end{alignedat}}$

déjà indiquées dans le précédent article. En effet, elles reviennent à

${\begin{alignedat}{2}\Sigma &\left\{A_{m}\varphi (l,m)+B_{m}\psi (l,m)\right\}&e^{-mt}=&0,\\\Sigma &\left\{A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)\right\}&e^{-mt}=&0.\end{alignedat}}$