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Elles doivent subsister pour toute valeur positive de $t$ ; d’où on conclut sans peine qu’une des valeurs de l’exposant $m$ doit être zéro, et qu’à cet exposant répondent les deux équations

$A_{0}\varphi (l,0)+B_{0}\psi (l,0)=\theta ,\qquad A_{0}\varphi (l',0)+B_{0}\psi (l',0)=\theta ',$

qui donnent aisément

$A_{0}={\frac {\theta \psi (l',0)-\theta '\psi (l,0)}{\varphi (l,0)\psi (l',0)-\varphi (l',0)\psi (l,0)}},$

$B_{0}={\frac {\theta '\varphi (l',0)-\theta \varphi (l,0)}{\varphi (l,0)\psi (l',0)-\varphi (l',0)\psi (l,0)}},$

et déterminant complètement le premier terme $u_{0}$ de la valeur de $u,$ lequel représente le mouvement de la chaleur dans une barre parvenue à un état permanent. Toutes les autres valeurs de $m$ sont données par les équations

$A_{m}\varphi (l,m)+B_{m}\psi (l,m)=0,\qquad A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)=0.$

Éliminant $A_{m}$ et $B_{m},$ il vient :

(c)$\qquad \varphi (l,m)\psi (l',m)-\varphi (l',m)\psi (l,m)=0\,;$

égalité où tout est connu, excepté $m$, et qui détermine (en y joignant la valeur de $m=0$) toutes les valeurs dont cette variable est susceptible. Une des quantités $A_{m},B_{m}$ est donnée de plus en fonction de l’autre. La valeur $B_{m}$ est, par exemple, $-A_{m}{\frac {\varphi (l,m)}{\psi (l,m)}}\,;$ et, si l’on substitue cette expression dans la valeur de $u$, on trouve

$u=u_{0}+\Sigma A_{m}.{\frac {\varphi (x,m)\psi (l,m)-\psi (x,m)\varphi (l,m)}{\psi (l,m)}}\,;$

le temps $t$ étant arbitraire.

xvi. Que l’on fasse à présent $t=0,\ u$ deviendra $\operatorname {F} (x)$ ; représentant donc par $\Phi (x)$ la différence $\operatorname {F} (x)-u_{0}$ également connue, on devra satisfaire à l’égalité

(d)$\qquad \Phi (x)=\Sigma {\frac {A_{m}}{\psi (l,m)}}\left\{\varphi (x,m)\psi (l,m)-\psi (x,m)\varphi (l,m)\right\},$