on aura, par suite :
![{\displaystyle y=p_{0}-p_{1}+p_{2}-p_{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4347e40f2a24773f217485044ac40a539aa0d1)
Si la valeur moyenne de
est au-dessous de l’unité, les termes
tendent à diminuer, à mesure que l’indice augmepte, 1.o à cause de l’introduction du nouveau facteur
; 2.o à cause de la double intégration ajoutée en passant de l’un quelconque d’entre eux au suivant. En adoptant donc cette hypothèse, on a
![{\displaystyle p_{1}<p_{0},\qquad p_{3}<p_{2},\qquad p_{4}<p_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164c360b9965fc04ed12e37acbb2bc6d616c0e42)
et par conséquent
Soit à présent
supérieur à l’unité. L’introduction du facteur
d’un terme
au suivant
tend à augmenter ce dernier que la double intégration diminue ; et, comme l’effet de cette diminution se produit d’autant mieux que
est plus grand, on voit que les nombres successifs
iront d’abord croissant avec les indices, atteindront un maximum puis décroîtront indéfiniment.
Cette idée a besoin d’être développée. On en sent sur-le-champ la justesse en regardant la fonction
comme une constante égale à
car on a, dans cette hypothèse,
![{\displaystyle p_{0}=1,\quad p_{1}={\frac {m-P}{1.2.3}},\quad p_{2}={\frac {(m-P)^{2}}{1.2.3.4.5}},\quad p_{3}={\frac {(m-P)^{3}}{1.2.3.4.5.6.7}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/410bd9710bac75048c1842bd828282c395008edf)
Et les rapports
![{\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{0}}},\quad {\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\frac {p_{3}}{p_{2}}},\quad {\frac {p_{4}}{p_{3}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9be65b97d3000958ed0e68e1812f8c75df15c7)
sont
![{\displaystyle {\frac {m-P}{2.3}},\quad {\frac {m-P}{4.5}},\quad {\frac {m-P}{6.7}},{\frac {m-P}{8.9}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7690827e6a4ae8a78b449add26dddcc745752952)