Pour toutes ces fractions, le numérateur est invariable ; le dénominateur va croissant avec rapidité et finit par lui devenir égal ou supérieur. Donc aussi les termes
quel que soit
ne pourront pas toujours croître avec leurs indices. Ils atteindront un maximum, puis décroîtront, l’indice continuant à augmenter. Le maximum sera seulement d’autant plus éloigné de
que
sera un nombre plus considérable.
Ce que nous venons d’expliquer, en supposant
est évidemment général. Cela compris, on conçoit déjà comment la valeur de
peut être alternativement positive et négative, et par conséquent nulle.
xxi. Si
était constant, qu’on eût
les valeurs successives de
seraient celles que nous venons d’écrire, et l’on obtiendrait
![{\displaystyle y'=1-{\frac {m-P}{1.2.3}}+{\frac {(m-P)^{2}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {(m-P)^{3}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff741ff594f4197432c18739847aa0f974b387f)
Multipliant et divisant le second membre par
puis observant que
est égal à
on a
{{c|
Ainsi
![{\displaystyle y'={\frac {\operatorname {Sin} .{\sqrt {m-P}}}{\sqrt {m-P}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23926866210ee484a330a4318dff21aea23fa755)
Or, par la décomposition du sinus en une infinité de facteurs, on sait que l’équation
a toutes ses racines réelles et positives. Ces racines sont données par l’égalité
dans laquelle
est, à l’ordinaire, le rapport de la circonférence au diamètre, et
un nombre entier qui peut prendre toutes les