mettre à part le terme
qui répond à
et puis se rappeler qu’à l’article xix on a fait voir que
pour les autres valeurs de
. Il reste dès lors
![{\displaystyle u=u_{0}+\Sigma B_{m}e^{-mt}\psi (x,m)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f700e0af5b8e83e342663f28f4a5270a273e1a2)
le signe
s’étendant aux valeurs de
données par ![{\displaystyle \psi (l',m)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a44c7fc12cfaa92fd0c5fe519d31f8f0a81621)
Pour
devient
On pose (art. xvi)
Puis l’on a \Phi(x)=\Sigma
d’où l’on déduit, par la méthode déjà exposée (art. xvi,xvii),
![{\displaystyle B_{m}={\frac {\int _{0}^{l'}\Phi (\alpha )\psi (\alpha ,m)\operatorname {d} \alpha }{\int _{0}^{P}\psi (\alpha ,m)^{2}\operatorname {d} \alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f394c1641a82f904c8fe996f850459e0b66f74b)
Or, quand il s’agit de prouver la convergence de la série
il est permis d’abord de ne considérer que les termes de la suite infinie où
est très-considérable ; ensuite de faire
; car, si la série est convergente,
étant nul, à fortiori le sera-t-elle à un instant quelconque différent.
Posons
![{\displaystyle m={\frac {a^{2}n^{2}\varpi ^{2}}{l'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3dafbedfeb510c282d33d8cf8e817f225beeebb)
désignant un nombre entier très-grand. Partons d’une valeur
puis faisons
![{\displaystyle n=n'+1,\qquad n=n'+2,\qquad n=n'+3,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6541c53e7dfdb5bfc48982884a0aa4bf597ba1)
c’est à ces diverses valeurs de
que répondront les grandes racines de l’équation
Cela résulte de ce que, pour ces grandes racines, on a, ainsi qu’on l’a vu à l’art. xxii,
![{\displaystyle \psi (l',m)={\frac {a\operatorname {Sin} .{\frac {l'{\sqrt {m}}}{a}}}{\sqrt {m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d959c583c35be9851a19283536bfafbfc19cfd24)