toutes ses racines réelles et positives, ce qu’on savait déjà, par le théorème de l’article I.er
L’analyse que nous venons d’employer conduit également à les calculer : nous n’insisterons pas sur ce point ; des considérations de ce genre n’ont aucune difficulté. Lorsque les racines sont petites, on les obtient par la méthode des approximations successives ; lorsqu’elles sont très-grandes, le nombre
est très-grand lui-même ; on néglige
et l’on a cette valeur très-approchée
où
est un nombre entier quelconque, mais suffisamment considérable.
xxii. À la fin de l’article xii, on a prouvé que la série qui exprime
est une série convergente. Nous ne reviendrons pas sur cette proposition qu’on peut démontrer par plus d’un moyen. De plus, quand les valeurs de
sont très-grandes, on peut prouver que
est une très-petite quantité quel que soit
Eneffet, on a
![{\displaystyle \psi (x,m)=x+{\frac {1}{a^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7948b3730847c4020a24fcb1a25fb109141071ac)
![{\displaystyle +{\frac {1}{a^{4}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd43fc380597effdc38f235c0590fb986954bb5)
Si
est très-grand, négligeons
par rapport à
il viendra
\psi(x,m)=x-
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}.{\frac {mx^{3}}{1.2.3}}+{\frac {1}{a^{4}}}.{\frac {m^{2}x^{5}}{1.2.3.4.5}}-\ldots ={\frac {a\operatorname {Sin} .{\frac {x{\sqrt {m}}}{a}}}{\sqrt {m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839992a3dd22642ff9495c8a8889582bb075319d)
Or,
décroît indéfiniment à mesure que
augmente.
xxiii. Je vais présentement démontrer la convergence de la suite qui exprime la valeur de
. Il faut reprendre l’expression
![{\displaystyle u=\Sigma e^{-mt}\left[A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522921c372aec4643f1254ee335a72613390f48e)