ANALYSE TRANSCENDANTE.
Notes sur quelques points d’analyse ;
Par
M. Galais, élève à l’École normale.
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§. I.
Démonstration d’un théorème d’analyse.
Théorème. Soient
et
deux fonctions quelconques données ; on aura, quelsque soient
et
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75a089652d8edddb378cf70995c4bb865c7580a)
étant une fonction déterminée, et
une quantité intermédiaire entre
et ![{\displaystyle x+h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb52738be4bdf42d4005b093353211ccbd29191)
Démonstration. Posons, en effet
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=P\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe30d371334ff4e475b79c4105ac95675ecd04b)
on en déduira
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+h)-P\operatorname {f} (x+h)=\operatorname {F} x-P\operatorname {f} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11dc55384418737602db1f9705cecd19f9e49a40)
d’où l’on voit que la fonction
ne change pas quand on y change
en
; d’où, il suit qu’à moins qu’elle ne reste constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans des cas particuliers, cette fonction aura, entre
et
un ou plusieurs maxima et minima. Soit
la valeur de
répondant à l’un d’eux ; on aura évidemment
![{\displaystyle k=\psi (P),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d9971aae85203a652e338f62e088be7437815c)
étant une fonction déterminée ; donc on doit avoir aussi