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$P=\varphi (k),$

$\varphi$ étant une autre fonction également déterminée ; ce qui démontre le théorème.

De là on peut conclure, comme corollaire, que la quantité

$\operatorname {Lim} .{\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (x),$

pour $h=0$, est nécessairement une fonction de $x,$ ce qui démontre, à priori, l’existence des fonctions dérivées.

§. II.

Rayon de courbure des courbes dans l’espace.

Le rayon de courbure d’une courbe en l’un quelconque de ses points $\mathrm {M}$ est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’intersection du plan normal au point $\mathrm {M}$ avec le plan normal consécutif, comme il est aisé de s’en assurer par des considérations géométriques.

Cela posé, soit $(x,y,z)$ un point de la courbe ; on sait que le plan normal en ce point aura pour équation

$(X-x){\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+(Y-y){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+(Z-z){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0.\qquad$(N)

$X,Y,Z$ étant les symboles des coordonnées courantes. L’intersection de ce plan normal avec le plan normal consécutif sera donnée par le système de cette équation et de la suivante

$(X-x){\frac {d.\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\right)}{\operatorname {d} s}}+(Y-y){\frac {d.\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\right)}{\operatorname {d} s}}+(Z-z){\frac {d.\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)}{\operatorname {d} s}}=1.\qquad$(I)

attendu que

$\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}=1.$