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voir si cette courbe a des points doubles, et en déterminer la situation, on éliminera $x$ et $y$ entre les trois équations

$S=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;\qquad$(38)

l’équation résultante, entre quantités connues, ne pourra être qu’absurde ou identique. Dans le premier cas, la courbe n’aura aucun point double ; dans le second, elle en aura un ou plusieurs dont les coordonnées seront données par deux quelconques des équations (38). Ces coordonnées étant mises ensuite tour.à tour à la place de $x'$ et $y'$, dans l’équation (36), on connaîtra ainsi les directions des deux tangentes en chacun de ces points.

On se comporterait exactement de la même manière si, l’équation $S=0$ renfermant un ou plusieurs coefficiens arbitraires, on voulait profiter de leur indétermination pour lui faire exprimer une courbe ayant un ou plusieurs points doubles ; il arriverait seulement qu’en éliminant $x$ et $y$ entre les trois équations (38), l’équation à laquelle on serait conduit ne serait ni identique ni absurde ; elle exprimerait la condition à laquelle les constantes arbitraires devraient satisfaire pour que de tels points existassent ; et, en supposant cette condition satisfaite, le calcul s’achèverait comme dans le premier cas.

viii. Des considérations analogues prouvent que, si le point $(x',y')$ était choisi sur la courbe (1) de telle sorte que, outre les équations (32), on eût encore celles-ci :

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}=0\,;\qquad$(39)

ce qui peut encore moins avoir lieu généralement, l’équation de la courbe, réduite au point $(x',y'),$ serait