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${\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}(x-x')^{3}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}(x-x')^{2}(y-y')$

$+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}(x-x')(y-y')^{2}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}(y-y')^{3}=0\,;\qquad$(40)

équation qui exprime trois droites qui se coupent, ou bien deux droites qui se confondent et une troisième droite qui les coupe, ou enfin une droite unique et un point situé sur sa direction, suivant que la fonction

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}\right)$

$-4\left\{\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}\right\}\left\{\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}\right\},\mathrm {(41)}$

est négative, nulle ou positive ; et qui, en particulier, exprimera trois droites qui se confondent, si l’on a, à la fois,

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}\right)^{2}={\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}},\ \left({\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}\right)^{2}={\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}\,;$ (42)

la courbe aura donc, dans les mêmes circonstances, en son point $(x',y'),$ ou trois branches qui se couperont, ou deux branches qui se toucheront et une troisième qui les coupera toutes deux à leur point de contact, ou trois branches qui se toucheront, ou enfin une branche unique et un point sur sa direction, lié analitiquement avec elle ; et, comme alors l’équation (8) devient immédiatement divisible par $t^{3},$ on dit que le point $(x',y')$ est un point triple. Les tangentes aux diverses branches de la courbe qui passent par ce point sont d’ailleurs données par l’équation (40).

Veut-on savoir si une courbe donnée par l’équation $S=0$ a des points triples, et en déterminer la situation ? Ou bien, cette équation contenant des coefficiens arbitraires, vetit-on profiter de leur indétermination pour faire acquérir des points triples à la courbe quelle exprime ? Dans l’un comme dans l’autre cas il faudra d’abord éliminer $x$ et $y$ entre les six équations