Pour cela remarquons d’abord qu’on peut toujours profiter de l’indétermination de
pour amener ce troisième point à être aussi voisin de l’origine des
et
qu’on le voudra, et qu’alors on pourra sensiblement, dans la recherche de ce même point, négliger les termes dje dimensions plus élevées en
et
, vis-à-vis des termes de dimensions moindres, c’est-à-dire, remplacer les (45) et (46) par les deux suivantes :
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}0={\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}u,\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2C\right)t^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}-2C\right)u^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu\,;\end{array}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb518e7bf2bbdce4a19118414c3806a2ed9b3cc)
(47)
or, en éliminant de la seconde, au moyen de la première, une quelconque des coordonnées
et
, l’autre disparaît d’elle-même, et il vient
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2C\right)\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}-2C\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe056d486a77abbebf0ab2394eb52d01d8313bd7)
![{\displaystyle -2{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc366a601cbed7c355ac4c39612dc7e98fcce83b)
d’où on tire
![{\displaystyle C={\frac {\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}}{2\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c4e4d748e6be8c89dd169d3c9293bcb5c361f0)
(48)
donc, plus
approchera de cette valeur et plus aussi le troisième point commun approchera de se confondre avec les deux autres ; il se confondra donc rigoureusement avec eux, lorsque
aura exactement cette valeur.
Remarquons présentement que l’équation (45) peut être écrite comme il suit :
![{\displaystyle \left(t+{\frac {1}{2C}}.{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left(u+{\frac {1}{2C}}.{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7490125d224d3dc5b734c41b745c57b0b71c66dc)
![{\displaystyle {\frac {1}{4C^{2}}}\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5d2cb7a052a550b29ae7a34885ff1fef27a961)
(49)