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Pour cela remarquons d’abord qu’on peut toujours profiter de l’indétermination de $C$ pour amener ce troisième point à être aussi voisin de l’origine des $t$ et $u$ qu’on le voudra, et qu’alors on pourra sensiblement, dans la recherche de ce même point, négliger les termes dje dimensions plus élevées en $t$ et $u$, vis-à-vis des termes de dimensions moindres, c’est-à-dire, remplacer les (45) et (46) par les deux suivantes :

$\left.{\begin{array}{c}0={\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}u,\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2C\right)t^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}-2C\right)u^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu\,;\end{array}}\right\}\quad$(47)

or, en éliminant de la seconde, au moyen de la première, une quelconque des coordonnées $t$ et $u$, l’autre disparaît d’elle-même, et il vient

$\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2C\right)\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}-2C\right)$

$-2{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}=0,$

d’où on tire

$C={\frac {\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}}{2\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}}}\,;\qquad$(48)

donc, plus $C$ approchera de cette valeur et plus aussi le troisième point commun approchera de se confondre avec les deux autres ; il se confondra donc rigoureusement avec eux, lorsque $C$ aura exactement cette valeur.

Remarquons présentement que l’équation (45) peut être écrite comme il suit :

$\left(t+{\frac {1}{2C}}.{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left(u+{\frac {1}{2C}}.{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}=$

${\frac {1}{4C^{2}}}\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}\,;\qquad$(49)