On a ramené, depuis long-temps, à des procédés élémentaires la recherche des tangentes et des normales aux courbes, soit par des points donnés sur leur périmètre, soit par des points extérieurs ; mais il n’en est pas de même des développées orthogonales ou obliques, dont jusqu’ici, malgré leur importance dans la géométrie et dans ses applications à la physique, on a toujours fait dépendre la recherche des procédés de la haute analyse ; de sorte que les personnes qui, après avoir suivi les cours de mathématiques de nos collèges, n’ont ensuite ni le loisir ni l’occasion de s’élever jusqu’à l’étude du calcul différentiel, se trouvent ainsi condamnées à rester, pour jamais, étrangères à tout ce qui concerne cette branche importante de la science.
Nous croyons donc faire une chose utile en montrant avec quelle facilité on peut présenter la théorie des développées, soit orthogonales soit obliques, de manière à l’introduire dans les simples élémens. Nous exposerons d’abord le procédé général ; nous en ferons ensuite diverses applications.
Concevons que, par un quelconque des points d’une courbe plane, on mène une normale à cette courbe ; si, par un autre point quelconque de cette courbe, on lui mène une nouvelle normale, celle-ci, en général, coupera la première en un certain point La première normale étant supposée fixe, si la seconde marche vers elle, en demeurant constamment normale à la courbe, le point marchera sur cette normale fixe jusqu’à ce qu’enfin les deux normales venant à se confonde, ce point s’arrêtera sur la normale fixe, dans une certaine situation, et il est manifeste qu’alors il appartiendra à la développée de la courbe proposée.
Ainsi, à chaque point de la courbe donnée, répond un certain point de sa développée, situé sur la normale à cette courbe en ; tout comme, à chaque point de la développée doit répondre un point de la courbe proposée, intersection de cette courbe avec la tangente à cette dé-
