Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/27

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left.{\begin{aligned}&\left\{{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u'+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}t'\right)\right.\\&\left.+{\frac {1}{1.2}}\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}u'^{3}+2{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}t'u'+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}t'^{2}\right)+\ldots \right\}(t-t')\\\\-&\left\{{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t'+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}u'\right)\right.\\&\left.+{\frac {1}{1.2}}\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}t'^{3}+2{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}t'u'+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}u'^{2}\right)+\ldots \right\}(u-u')\\\\\end{aligned}}\right\}=0.\mathrm {(54)}$

Si l’on veut avoir l’intersection de cette normale avec celle qui passe par l’origine des $t$ et $u$, c’est-à-dire, par le point $(x',y'),$ il faudra considérer $t$ et $u$ comme les deux inconnues d’un même problème déterminé, tant dans l’équation (54) que dans l’équation de la normale à l’origine des $t$ et $u$, qui est (27)

${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}t-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}u=0\,;\qquad$(55)

mais si le point $(t',u')$ est supposé très-voisîn de l’origine des $t$ et $u$, on pourra, sans erreur sensible, remplacer, dans cette recherche, l’équation (54) par l’équation plus simple

$\left\{{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u'+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}t'\right)\right\}(t-t')$

$-\left\{{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t'+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}u'\right)\right\}(u-u')\qquad$(56)

et même remplacer cette dernière par telle combinaison qu’on en voudra faire avec l’autre, de manière à n’en pas élever le degré ; par leur différence» par exemple, qui est

$\left.{\begin{array}{c}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u'+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}t'\right)t-\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t'+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}u'\right)u\\\\=\left\{{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u'+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}t'\right)\right\}t'-\left\{{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t'+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}u'\right)\right\}u'\end{array}}\right\}.\mathrm {(57)}$

Si l’on résout les deux équations (55) et (57), par rapport à $t$ et $u,$ et que, dans les numérateurs des valeurs de ces deux incon-