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nues, on néglige les termes de deux dimensions en $t'$ et $u'$, vis-à-vis de ceux qui n’en ont qu’une seule, ; il viendra

$\left.{\begin{aligned}&t=-{\frac {{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}t'-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}u'\right)}{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}\right)t'-\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}\right)u'}},\\\\&u=-{\frac {{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}t'-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}u'\right)}{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}\right)t'-\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}\right)u'}}\,;\end{aligned}}\right\}\mathrm {(58)}$

telles seront donc, approximativement, les coordonnées de l’intersection des deux normales, et d’autant plus approximativement que le point $(t',u')$ sera plus voisin de l’origine des $t$ et $u\,;$ c’est-à-dire, d’autant plus approximativement que $t'$ et $u'$ seront plus petits.

Mais, dans cette hypothèse, l’équation (53) se réduit sensiblement à

${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t'+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}u'=0\,;\qquad$(59)

en employant donc cette dernière équation à chasser des formules (57) l’une quelconque des coordonnées $t'$ et $u',$ l’autre disparaîtra d’elle-même, et l’on obtiendra ainsi des formules qui conviendront rigoureusement au cas où le point $(t',u')$ se confond avec l’origine des $t$ et $u$, puisque les coordonnées de ce point (t',u') n’y figureront plus. Or, on retombe ainsi de nouveau sur les formules (50) qui donnent les coordonnées du centre de courbure ; d’où résulte ce théorème :

Si une normale mobile marche vers une normale fixe, leur point d’intersection marchera sur cette dernière, de manière à s’arrêter au