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Soit encore la série

$4x+15x^{2}+40x^{3}+85x^{4}+156x^{5}+259x^{6}+400x^{7}+585x^{8}+\ldots \,;\mathrm {(4)}$

en la traitant exactement comme les précédentes, on trouvera pour sa fonction génératrice la fraction rationnelle

${\frac {x\left(1+x^{2}\right)(4-x)}{(1-x)^{4}}}.$

Ces exemples suffisent pour faire voir que ce procédé, fondé sur la recherche du plus grand commun diviseur entre l’unité et une série proposée, offre une méthode directe et très-élémentaire pour sommer toute suite infinie dont la fonction génératrice est rationnelle ; méthode différente de celle d’Euler, indiquée par M. Lacroix dans son Traité de calcul différentiel et de calcul intégral. (Deuxième édition, tom. iii, pag. 344).

Le même procédé peut être également employé à transformer une série quelconque en fraction continue.

Soit d’abord la série

$1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1.3}{2.4}}x^{2}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}x^{3}+{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}x^{4}+{\frac {1.3.5.7.9}{2.4.6.8.10}}x^{5}+\ldots ,$ (5)

que l’on sait être le développement de la fonction

${\frac {1}{\sqrt {1-x}}}\,;$

si l’on cherche le plus grand commun diviseur entre l’unité et cette série, les quotiens et les restes successifs seront tels qu’on les voit dans le tableau suivant :