Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/269

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Soit, pour troisième exemple, la série

$1+5x+9x^{2}+13x^{3}+17x^{4}+21x^{5}+25x^{6}+\ldots \,;\quad$(3)

en la traitant comme les précédentes, on obtiendra les quotiens et les restes successifs dont le tableau suit :

${\begin{array}{r|r}&1\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\1&1+5x+\ \ 9x^{2}+13x^{3}+17x^{4}+21x^{5}+25x^{6}+\ \ 29x^{7}+\ldots ,\\-{\frac {1}{5x}}&-5x-\ \ 9x^{2}-13x^{3}-17x^{4}-21x^{5}-25x^{6}-\ \ 29x^{7}-\ldots ,\\-{\frac {25}{16}}&+{\frac {16}{5}}x+{\frac {32}{5}}x^{2}+{\frac {48}{5}}x^{3}+{\frac {64}{5}}x^{4}+{\frac {80}{5}}x^{5}+{\frac {96}{5}}x^{6}+{\frac {112}{5}}x^{7}+\ldots ,\\+{\frac {16}{5x}}&x^{2}+\ \ 2x^{3}+\ \ 3x^{4}+\ \ 4x^{5}+\ \ \ 5x^{6}+\ \ \ 6x^{7}+\ldots ,\\&0\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,;\end{array}}$

ce qui donnera, pour la fraction continue équivalente,

${\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{-{\cfrac {1}{5x}}+{\cfrac {1}{-{\cfrac {25}{16}}+{\cfrac {1}{\cfrac {16}{5x}}}}}}}}}\,;$

qu’on réduira facilement à celle-ci

${\cfrac {1}{1-{\cfrac {5x}{1+{\cfrac {16x}{5-{\cfrac {x}{1}}}}}}}}.$

laquelle revient à la fraction ordinaire

${\frac {1+3x}{(1-x)^{2}}},$

dont la série proposée est en effet le développement.