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$r^{2}=a^{2}+p^{2}=b^{2}+q^{2},\qquad$(1)

d’où nous tirerons encore

$a^{2}-b^{2}=q^{2}-p^{2}=(p+q)(q-p)\,;$

de sorte qu’en nommant $h$ la hauteur du segment, ce qui donnera

$q-p=h,\qquad$(2)

nous aurons

$a^{2}-b^{2}=(p+q)h,$

et, conséquemment,

$p+q={\frac {a^{2}-b^{2}}{h}},\qquad$(3)

et alors les équations (2) et (3) donneront

$p={\frac {a^{2}-b^{2}}{2h}}-{\frac {h}{2}},\qquad q={\frac {a^{2}-b^{2}}{2h}}+{\frac {h}{2}}.\qquad$(4)

Cela posé, soit $V$ volume du segment ; ce segment est la différence de deux autres, ayant pour base commune le grand cercle parallèle à ses bases et se terminant à ses mêmes bases, et dont les hauteurs sont conséquemment $q$ et $p$. Soient $Q$ et $P$ respectivement les volumes de ces deux segmens, nous aurons

$V=Q-p.\qquad$(5)

Les deux segmens $Q$ et $P$ sont respectivement composés de deux cônes ayant $b$ et $a$ pour rayons de leurs bases et $q$ et $p$ pour hauteurs et de deux secteurs terminés par des zones sphériques dont les hauteurs sont également $q$ et $p\,;$ de sorte qu’on a

$Q={\frac {1}{3}}\varpi b^{2}q+{\frac {2}{3}}\varpi r^{2}q,\qquad P={\frac {1}{3}}\varpi a^{2}p+{\frac {2}{3}}\varpi r^{2}p,$

ou bien (1)

${\begin{alignedat}{2}Q&={\frac {1}{3}}\varpi b^{2}q+&{\frac {2}{3}}\varpi \left(b^{2}+q^{2}\right)q&=\varpi b^{2}q+{\frac {2}{3}}\varpi q^{3},\\P&={\frac {1}{3}}\varpi a^{2}p+&{\frac {2}{3}}\varpi \left(a^{2}+p^{2}\right)p&=\varpi a^{2}p+{\frac {2}{3}}\varpi p^{3},\end{alignedat}}$