ce qui donnera, en substituant dans (5),
![{\displaystyle V=\varpi \left(b^{2}q-a^{2}p\right)+{\frac {2}{3}}\varpi \left(q^{3}-p^{3}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644914c129d0be23b5c76bf907a1fb2bf96d6845)
![{\displaystyle =\varpi \left(b^{2}q-a^{2}p\right)+{\frac {3}{3}}\varpi (q-p)\left(p^{2}+pq+q^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe53bc3cbad5882d5619e60469c7580892af4362)
c’est-à-dire (2),
![{\displaystyle V=\varpi \left(b^{2}q-a^{2}p\right)+{\frac {2}{3}}\varpi h\left(p^{2}+pq+q^{2}\right).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e41e439689010096bed713ccafd23f529e19a31)
(6)
Mais les valeurs (4) donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}q-a^{2}p={\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)h}{2}}-{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)h}{2h}},\\\\&p^{2}+pq+q^{2}={\frac {3\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4h^{2}}}+{\frac {h^{2}}{4}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd361aa321041aa393681374a6383b702085695)
substituant ces valeurs dans (6) et réduisant, il viendra finalement
![{\displaystyle V=h{\frac {\varpi a^{2}+\varpi b^{2}}{2}}+{\frac {1}{6}}\varpi h^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8e85f71f9a665d6bfb8f968a170147dc53ddf2)
qui est précisément le résultat donné par M. Legendre.
Si, du volume de ce segment, on retranche le volume du trônc du cône qui se termine à ses deux bases, lequel a, comme l’on sait, pour expression
![{\displaystyle \varpi {\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb4d605fdf1686c2e8c8bda2f257dba3868599b)
on obtiendra, pour le volume du corps engendré par un segment de cercle tournant autour d’un diamètre qui lui est extérieur,
![{\displaystyle {\frac {\varpi h}{6}}\left\{(a-b)^{2}+h^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55989347bcff2bceb12baed5861feda6ce9fc578)
Mais, si l’on représente par
la corde du segment générateur, on aura
![{\displaystyle (a-b)^{2}+h^{2}=c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bee7bbb82439fb0d4c333c48cd98d2b4da761d6)
ce qui donnera, en substituant, pour le volume cherché,
![{\displaystyle {\frac {\varpi hc^{2}}{6}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0219d288bd4c3a07b95d291746bf979b7b2565ba)
expression remarquable par sa simplicité.