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c’est-à-dire que cette équation est celle d’une courbe qui coupe la proposée (1) aux points où sa courbure est maximum ou minimum. Ayant déterminé, par la combinaison de cette équation avec l’équation (1), les coordonnées des points pour lesquels cette circonstance a lieu, la substitution des valeurs de ces coordonnées, pour $x'$ et $y',$ dans la formule (51), fera connaître la grandeur du rayon de courbure en ces points.

xiii. En négligeant, dans l’équation (4), les termes de plus d’une dimension en $t$ et $u$, nous sommes parvenus à l’équation (6) de la tangente à la courbe (1), au point $(x',y')$ de cette courbe. On pourrait, pour plus de précision, ne rejeter, dans cette équation (4), que les termes de plus de deux dimensions en $t$ et $u$, ce qui conduirait à l’équation

$0={\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}u+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u^{2}\right).$ (63)

qui appartient conséquemment à celle de toutes les lignes du second ordre qui passent par l’origine des $t$ et $u$ qui se moule le plus exactement sur la courbe (1), en ce point. À cause de cette propriété, une telle courbe est dite l’osculatrice du second ordre de la proposée au point où elle la touche. En raisonnant comme nous l’avons fait pour la tangente que, par analogie, on pourrait appeler osculatrice du premier ordre, on s’assurera facilement qu’en général l’osculatrice du second ordre d’une courbe, en l’un de ses points, touche et coupe à la fois cet le courbe en ce point.

En repassant au système rectangulaire, au moyen des formules (5), on pourra dire que l’équation de l’osculatrice du second ordre de la courbe (1), en un quelconque $(x',y')$ de ses points, est