On voit, au surplus, que, si le point était un point double, cette osculatrice se réduirait à deux droites ou à un point ; et que, si ce même point était un point d’inflexion, l’osculatrice ne serait autre que la tangente en ce point.
On pourrait aussi ne supprimer, dans l’équation (4), que les termes de plus de trois dimensions en et , et l’on obtiendrait ainsi ce qu’on appelle l’osculatrice du troisième ordre de la proposée, en un quelconque de ses points, c’est-à-dire, celle de toutes les courbes du troisième ordre qui, en ce point, se moule le plus exactement sur cette courbe en ce point, et de laquelle on prouverait que, dans le voisinage du point de contact, elle est toute située d’un même côté de la proposée, qu’elle touche ainsi sans la couper. On voit aisément par là ce que seraient les osculatrices des ordres supérieurs, lesquelles couperaient et toucheraient, à la fois, la proposée, ou bien seraient entièrement situées d’un même côté de cette courbe, suivant qu’elles seraient d’un ordre pair ou d’un ordre impair.
xiv. Les formules auxquelles nous sommes parvenus dans tout ce qui précède sont un peu plus compliquées que celles qu’on emploie communément à la résolution des diverses questions que nous avons traitées ; mais, outre quelles en sont aussi plus symétriques, leur apparente complication en rend l’application plus facile. En ne supposant pas, en effet, que l’équation proposée soit résolue par rapport à une des deux coordonnés et il sera toujours permis de supposer que est une fonction rationnelle et entière de ces deux coordonnées ; ce qui rendra les divers coefficiens différentiels très-faciles à obtenir. Au surplus, rien ne sera plus aisé que de revenir de nos formules aux formules ordinaires ; il ne s’agira
