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dérivée de son premier membre doit être nulle, et que le plus grand commun diviseur, entre ce premier membre et sa fonction dérivée, doit contenir tous les facteurs égaux de la proposée, excepté un de chaque sorte ; égalant donc cette dérivée à zéro, ce qui donnera

$7x^{6}+30x^{5}+30x^{4}-24x^{3}-45x^{2}-6x+8=0\,;\qquad$(2)

il s’agira, en premier lieu, de trouver l’équation du degré le plus élevé qui vérifie à la fois les équations (1) et (2).

Pour cela, soit prise la somme de leurs produits respectifs par $+7$ et $-r,$ il en résultera cette nouvelle équation du sixième degré qui pourra remplacer celle du septième dans la recherche de leurs racines communes

$5x^{6}+12x^{5}-18x^{4}-60x^{3}-15x^{2}+48x+28=0\,;\qquad$(3)

de sorte que nous n’aurons plus à considérer que deux équations du sixième degré seulement.

Prenant, tour à tour, la somme des produits respectifs des équations (2) et (3), d’abord par $+5$ et $-7,$ puis par $-7$ et $+2,$ en divisant la première des équations résultantes par $6$ et la seconde par $3x,$ il viendra

$11x^{5}+46x^{4}+50x^{3}-20x^{2}-61x-26=0,\qquad$(4)

$13x^{5}+62x^{4}+82x^{3}-16x^{2}-95x-46=0\,;\qquad$(5)

équations qui ne sont plus que du cinquième degré seulement, et qui peuvent, comme les équations (2) et (3), remplacer les deux proposées dans la recherche de leurs racines communes.

Prenant enfin, tour à tour, la somme des produits respectifs de ces deux dernières, d’abord par $-13$ et $+11,$ puis par $+23$ et $-13,$ en divisant la première des équations résultantes par $84$ et la seconde par $84x,$ il viendra également