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cette dernière équation vérifie donc, à elle seule, les proposées (1) et (2) ; son premier membre est donc le plus grand commun, diviseur des leurs.

Veut-on savoir si cette dernière équation (6) n’a pas elle-même des racines égales ? Il faudra pareillement égaler à zéro la dérivée de son premier membre, ce qui donnera

et chercher quelle est l’équation du degré le plus élevé qui vérifie à la fois les équations (6) et (7).

Soit prise d’abord la somme de leurs produits respectifs par $+4$ et $-x\,;$ on obtiendra cette seconde équation du troisième degré

Prenant, tour à tour, la somme des produits respectifs des équations (7) et (8), d’abord par $+3$ et $-4,$ puis par $+8$ et $-3,$ il viendra, en divisant par $x$, la dernière des équations résultantes,

${\begin{alignedat}{2}19x^{2}+42x+23&=0,&\qquad (9)\\23x^{2}+66x+43&=0\,;&(10)\end{alignedat}}$

équations qui ne sont plus que du second degré seulement.

Prenant enfin, tour à tour, la somme des produits respectifs de ces dernières, d’abord par $-23$ et $+19,$ puis par $+43$ et $-23,$ et divisant la première des deux équations résultantes par $288$ et la seconde par $288x$, il viendra également,

$x+1=0\,;\qquad$(11)

cette équation vérifie donc, à elle seule, les proposées (6) et son premier membre est donc le plus grand commun diviseur des leurs.