Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/51

D’abord, en retranchant de l’équation (2) le produit de l’équation (14), par $x,$ il vient

$5x^{5}+10x^{4}-12x^{3}-30x^{2}-5x+8=0\,;\qquad$(15)

en prenant ensuite la somme des produits respectifs des équations (3) et (14) par $-7$ et $+5,$ il vient

$41x^{5}+226x^{4}+360x^{3}+30x^{2}-341x-196=0\,;\qquad$(16)

de sorte que nous n’avons plus à considérer que les trois équations du cinquième degré (14), (15), (16).

Prenant, tour à tour, la somme des produits respectifs de ces trois dernières, d’abord par $+720,-557$ et $-55,$ ensuite par $+1308,-1331$ et $-61,$ puis enfin par $+3708,-2599$ et $-125$^[1], en divisant la première des équations résultantes par $12,$ la seconde par $12x$ et la troisième par $12x^{2},$ il viendra,

${\begin{alignedat}{2}107x^{3}+\ \ 535x^{2}+\ \ 895x+\ \ 467&=0,&\qquad (17)\\467x^{3}+1681x^{2}+1867x+\ \ 653&=0,&(18)\\653x^{3}+3205x^{2}+5029x+2477&=0\,;&(19)\end{alignedat}}$

équations qui ne sont plus que du troisième degré, et qui, dans la recherche qui nous occupe, peuvent remplacer les équations (1), (2), (14).

Prenant enfin, tour à tour, la somme des produits respectifs de ces trois dernières, d’abord par $+66507,+1070$ et $-11663,$ ensuite par $+121725,$$+6652$ et $-24703,$ puis enfin par $+223437,+21938$ et $-47909,$ en divisant la première des équations résultantes par $2868228,$ la seconde par $2868228x$ et

1. On verra plus loin comment se forment ces multiplicateurs.