Avant d’examiner plus en détail, et de chercher à réduire à sa juste valeur la critique plus ou moins vive qu’on a faite, dans divers ouvrages élémentaire, de la méthode d’élimination d’Euler, et les motifs de la préférence accordée à celle qui se fonde sur la recherche du plus grand commun diviseur, remarquons d’abord que le procédé de M. Bérard pourrait être facilement étendu à la recherche du plus grand commun diviseur entre trois ou un plus grand nombre de polynomes.
Pour en donner un seul exemple, supposons qu’on ait uniquement intérêt à savoir si l’équation (1) n’a pas quelques racines triples ; il est connu que, si elle a de telles racines, elles doivent se trouver, non seulement dans l’équation (2), mais encore dans l’équation qu’on obtient en égalant à zéro la dérivée du premier membre de cette dernière ; ce qui donnera, en divisant par
de sorte que la question se trouvera amenée à assigner le plus grand commun diviseur entre les premiers membres des équations (1), (2), (14), ou, ce qui revient au même, l’équation du degré le plus élevé qui les vérifient toutes trois.
D’abord, en opérant sur les équations (1) et (2), comme nous l’avons fait ci-dessus, on en conclura l’équation (3) qui, dans la recherche qui nous occupe, pourra ainsi remplacer la première ; de sorte que la question se trouvera réduite à assigner l’équation du degré le plus élevé qui vérifie à la fois les équations (2), (3), (14).
qu’on la possédait bien ou mal. Un peu avant, ç’avait été le tour de la discussion des lignes du second ordre, par la résolution effective de leur équation, c’est-à-dire, par la méthode de Chézy ; méthode qui refuse le service dès le troisième degré, et que néanmoins on persiste encore aujourd’hui à offrir comme modèle.
