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équation qui ne s’élève qu’au douzième degré seulement, et encore voit-on que si $C_{1}C_{5}-C_{2}C_{4}$ était divisible par $C_{3},$ que si l’on avait, par exemple,

$C_{1}C_{5}-C_{2}C_{4}=-C_{3}D_{3},\qquad$(14)

tous ses termes étant alors divisibles par $C_{3}$ elle deviendrait

$C_{3}^{3}-\left(C_{2}C_{4}+2C_{1}C_{5}\right)C_{3}+C_{1}C_{4}^{2}+C_{2}^{2}C_{5}-C_{1}C_{5}D_{3}=0\,;\qquad$(15)

de manière qu’elle ne s’élèverait plus qu’au neuvième degré.

Troisième Degré.

Soient les deux proposées, du troisième degré,

$\left.{\begin{aligned}&A_{0}x^{3}+A_{1}x^{2}+A_{2}x+A_{3}=0,\\&B_{0}x^{3}+B_{1}x^{2}+B_{2}x+B_{3}=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(16)

si l’on prend, tour à tour, la somme de leurs produits respectifs, d’abord par $-B_{0}$ et $+A_{0},$ puis par $+B_{3}$ et $-A_{3},$ ; en divisant par $x$ la dernière des équations résultantes, et posant, pour abréger,

$\left.{\begin{array}{c}A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}=C_{1},\qquad A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}=C_{5},\\A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}=C_{2},\qquad A_{1}B_{3}-A_{3}B_{1}=C_{4},\\A_{0}B_{3}-A_{3}B_{0}=C_{3},\\A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=D_{3},\end{array}}\quad \right\}$(17)

d’où

$C_{1}C_{5}-C_{2}C_{4}=$

$\left(A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}\right)\left(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}\right)-\left(A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}\right)\left(A_{1}B_{3}-A_{3}B_{1}\right)\,;$

ou, en développant, réduisant et décomposant,