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$A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}=C_{1},\quad A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}=C_{2},\quad A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=C_{3}\,;$ (8)

on retombera précisément sur les équations (4) ; d’où il suit qu’on obtiendra la double valeur de $x$ de l’équation en $y$, en substituant les valeurs (8) dans les formules (5) et (6) ; on aura donc ainsi, pour la double valeur de $x$,

$x=-{\frac {A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}}{A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}}}=-{\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}}}\,;\qquad$(9)

et pour l’équation en $y$

$\left(A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}\right)^{2}-\left(A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}\right)\left(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\right)=0\,;$ (10)

équation du quatrième degré, et qui s’abaisserait au deuxième si $B_{2}$ était nul, c’est-à-dire, si la dernière des équations (7) n’était que du premier degré, puisqu’alors tous les termes restans de l’équation (10) seraient divisibles par $A_{2}.$

Si les proposées étaient

$\left.{\begin{aligned}C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}=0,&\mathrm {du\ } 3.^{me}\mathrm {\ degr{\acute {e}}} ,\\C_{3}x^{2}+C_{4}x+C_{5}=0,&\mathrm {du\ } 5.^{me}\mathrm {\ degr{\acute {e}}} ,\end{aligned}}\right\}\quad$(11)

la double valeur de $x$ deviendrait

$x=-{\frac {C_{1}C_{5}-C_{3}^{2}}{C_{1}C_{4}-C_{2}C_{3}}}=-{\frac {C_{2}C_{5}-C_{3}C_{4}}{C_{1}C_{5}-C_{3}^{2}}}\,;\qquad$(12)

et l’équation en $y$ serait

$\left(C_{3}^{2}-C_{1}C_{5}\right)^{2}-\left(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{3}\right)\left(C_{2}C_{5}-C_{3}C_{4}\right)=0,$

ou bien, en développant et ordonnant par rapport à $C_{3}$

$C_{3}^{4}-\left(C_{2}C_{4}+2C_{1}C_{5}\right)C_{3}^{2}+\left(C_{1}C_{4}^{2}+C_{2}^{2}C_{5}\right)C_{3}$

$+C_{1}C_{5}\left(C_{1}C_{5}-C_{2}C_{4}\right)=0\,;\qquad$(13)