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en valoir deux ; ce qui revient à dire que $\gamma$ est supplément de $\alpha +\beta ,$ et donne

$\operatorname {Cos} .\gamma =-\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )=\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta ,$

ou, en transposant,

$\operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \,;$

on aura donc, en substituant,

${\frac {r}{c}}+{\frac {r^{2}}{ab}}={\sqrt {\left(a^{2}-r^{2}\right)\left(b^{2}-r^{2}\right)}}\,;$

d’où en quarrant, chassant les dénominateurs, transposant ; réduisant et ordonnant,

$2abcr^{3}+\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)r^{2}-a^{2}b^{2}c^{2}=0.$

Si présentement on représente par $X,Y,Z$ les trois angles du triangle demandé, en remarquant que ces angles sont divisés en deux parties égales par les droites données $a,b,c$, et que leurs moitiés sont les complémens respectifs des angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ on aura

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}X=\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {r}{a}},\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}Y=\operatorname {Cos} .\beta ={\frac {r}{b}},\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}Z=\operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {r}{c}},$

d’où

$1-\operatorname {Cos} .X={\frac {2r^{2}}{a^{2}}},\quad 1-\operatorname {Cos} .Y={\frac {2r^{2}}{b^{2}}},\quad 1-\operatorname {Cos} .Z={\frac {2r^{2}}{c^{2}}}\,;$

et, par suite,

$\operatorname {Cos} .X={\frac {a^{2}-2r^{2}}{a^{2}}},\quad \operatorname {Cos} .Y={\frac {b^{2}-2r^{2}}{b^{2}}},\quad \operatorname {Cos} .Z={\frac {c^{2}-2r^{2}}{c^{2}}},$

il en résultera