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$\operatorname {Sin} .X={\frac {2r{\sqrt {a^{2}-r^{2}}}}{a^{2}}},\ \ \operatorname {Sin} .Y={\frac {2r{\sqrt {b^{2}-r^{2}}}}{b^{2}}},\ \ \operatorname {Sin} .Z={\frac {2r{\sqrt {c^{2}-r^{2}}}}{c^{2}}},$

Si l’on représente par $x,y,z$ les trois côtés de ce même triangle, on aura

${\begin{aligned}&x=b\operatorname {Sin} .\beta +c\operatorname {Sin} .\gamma ,\\&y=c\operatorname {Sin} .\gamma +a\operatorname {Sin} .\alpha ,\\&z=a\operatorname {Sin} .\alpha +b\operatorname {Sin} .\beta \,;\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}&x={\sqrt {b^{2}-r^{2}}}+{\sqrt {c^{2}-r^{2}}},\\&y={\sqrt {c^{2}-r^{2}}}+{\sqrt {a^{2}-r^{2}}},\\&z={\sqrt {a^{2}-r^{2}}}+{\sqrt {b^{2}-r^{2}}}\,;\end{aligned}}$

/o^2-r^2+tc^2-r mais des valeurs des sinus des angles, données ci-dessus, on tire

${\sqrt {a^{2}-r^{2}}}={\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .X}{2r}},\ \ {\sqrt {b^{2}-r^{2}}}={\frac {b^{2}\operatorname {Sin} .Y}{2r}},\ \ {\sqrt {c^{2}-r^{2}}}={\frac {c^{2}\operatorname {Sin} .Z}{2r}},$

ce qui donnera, en substituant,

${\begin{aligned}&x={\frac {b^{2}\operatorname {Sin} .Y+c^{2}\operatorname {Sin} .Z}{2r}},\\\\&y={\frac {c^{2}\operatorname {Sin} .Z+a^{2}\operatorname {Sin} .X}{2r}},\\\\&z={\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .X+b^{2}\operatorname {Sin} .Y}{2r}}.\end{aligned}}$

Toutes ces valeurs étant fonction de $r$, qui est donné par