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${\begin{array}{lc}&c_{0}=v_{0}r_{0}\operatorname {Sin} .\theta ,\\\\&c'=v_{0}^{2}-{\frac {2\mu }{(n-1)r_{0}^{n-1}}}.\end{array}}\quad$(4)

L’intégration qu’on doit effectuer pour avoir $wo$ n’est pas possible en général. Nous nous contenterons d’examiner les trois cas très-distincts $n=2,$$n=-1,\ n=3,$ dont le premier est celui de la nature.

vi. En posant $n=2,$ l’équation (3) devient

$\operatorname {d} \omega =-{\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {2\mu z-c^{2}z^{2}+c'}}}=-{\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {{\frac {\mu ^{2}}{c^{2}}}+c'-\left(cz-{\frac {\mu }{c}}\right)^{2}}}}\,;$

on en tire

$\omega =\operatorname {Arc.Cos} .={\frac {cz-{\frac {\mu }{c}}}{\sqrt {c'+{\frac {\mu ^{2}}{c^{2}}}}}}+c''.$

On peut, sans nuire à la généralité de cette équation, annuler $c''$, car cela revient à choisir d’une manière convenable la direction de la droite fixe $\mathrm {OX.}$ Il viendra alors

$r={\frac {1}{z}}={\frac {c}{{\frac {\mu }{c}}+{\sqrt {c'+{\frac {\mu ^{2}}{c^{2}}}}}.\operatorname {Cos} .\omega }}\,;$

équation d’une section conique quelconque, dont le foyer est au point fixe $\mathrm {O}$ d’attraction. Cette équation est en coordonnées polaires ; mais on ramènera les coordonnées rectangulaires $x$ et $y$, si l’on fait $x=r\operatorname {Cos} .\omega ,$$y=r\operatorname {Sin} .\operatorname {Cos} .\omega .$ D’abord, $\operatorname {Cos} .\omega$ étant égal à ${\frac {x}{r}},$ on a