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$r=\frac{c}{\frac{\mu }{c}+\frac{x}{r}\sqrt{c^{\prime }+\frac{\mu }{c^2}}}.$

De là résulte

$r=\frac{c^2}{\mu }-x\sqrt{1+\frac{c^2{c}^{\prime }}{{\mu }^2}};$

d’où l’on voit nettement, puisque le second membre est une fonction rationnelle de l’abscisse, que le point $\mathrm{O}$ est un foyer de la courbe. À présent, comme $r=\sqrt{x^2+y^2},$ il vient

$\sqrt{x^2+y^2}=\frac{c^2}{\mu }-x\sqrt{1+\frac{c^2{c}^{\prime }}{{\mu }^2}}.$

Faisant disparaîfre le premier radical par l’élévation des deux membres au quarré, ou donnera à l’équation la forme suivante :

$M{y}^2+N{x}^2+Px=Q;$

elle deviendra, en effet,

${\mu }^2{y}^2-c^2{c}^{\prime }{x}^2+2c^2\sqrt{{\mu }^2+c^2{c}^{\prime }}.x=c^4;$

de sorte qu’on aura

$M={\mu }^2,N=-c^2{c}^{\prime },P=2c^2\sqrt{{\mu }^2+c^2{c}^{\prime }},Q=c^4;$

et la section conique sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le coefficient $N$ sera positif, nul ou négatif. Or, comme ce coefficient dépend de $c^{\prime }$, il faut se rappeler qu’on a, par les équations (4),

$c^2=v_0^2{r}_0^2\mathrm{Sin}{.}^2\theta ,c^{\prime }=v_0^2-\frac{2\mu }{r_0},$

à cause de $n=2.$ Donc