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rentrant dans l’hypothèse déjà discutée de $\mu =c^{2},$ on fait $p=0.$

xv. Quatrième cas. Si $\mu$ devient égal à $v_{0}^{2}r_{0}^{2},\ c'$ s’annule et $\mu -c^{2}$ est positif. On discuterait aisément ce cas en remontant aux équations fondamentales et y introduisant les hypothèses précédentes, mais comme notre but principal est de montrer la liaison successive des cas divers, nous préférons reprendre l’équation

$z={\frac {c''e^{p\omega }}{2}}-{\frac {e^{-p\omega }}{2c''k^{2}}},$

et y poser $c'=0,$ d’où $h={\sqrt {\frac {\mu -c^{2}}{c'}}}=\infty .$ La valeur de z se simplifie donc et se réduit à

$z={\frac {c''e^{p\omega }}{2}}\,;$

donc

$r={\frac {2e^{-p\omega }}{c''}}=c'''e^{-p\omega },$

en écrivant $c'''$ pour ${\frac {2}{c''}}.$ C’est là ce que donnerait la considération immédiate de l’équation différentielle (3), Il n’y a plus ici d’asymptote, puisque $r$ ne peut devenir infini que pour $\omega =\infty$. La constante $c'''$ est la longueur du rayon vecteur qui répond à $\omega =0$ ; et comme on peut donner à $\omega$ des valeurs négatives, il en résulte que la courbe qui n’est autre que la spirale logarithmique, est composée de deux parties, l’une en dedans et l’autre en dehors du cercle décrit autour de l’origine avec le rayon $c''',$ et qui se continuent sans interruption.

Le temps employé à parcourir un arc de la courbe peut s’obtenir indifféremment en faisant $c'=0$ dans l’équation