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$z-{\sqrt {z^{2}-{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {e^{-p\omega }}{c''k^{2}}},$

Par conséquent en ajoutant ces deux dernières égalités, puis remplaçant $z$ par ${\frac {1}{r}}$ et prenant la valeur de $r,$ on a l’équation de la courbe

$r={\frac {2}{c''e^{p\omega }+{\frac {1}{c''k^{2}}}e^{-p\omega }}}\,;$

et l’on doit observer que l’hypothèse $k=\infty$ nous ramène à la spirale logarithmique. Cette supposition exclue, on voit qu’aucune valeur de $\omega$ ne peut rendre $r$ infini ; mais comme la différentielle du dénominateur, savoir :

$\left(c''e^{p\omega }-{\frac {p}{c''k^{2}}}e^{-p\omega }\right)\operatorname {d} \omega ,$

est égale à zéro pour la valeur de $\omega$ donnée par l’équation

$e^{2p\omega }={\frac {1}{c''^{2}k^{2}}}\,;$

il en résulte qu’il y a un maximum de $r$ pour le même angle $\omega .$ Si l’on tire le rayon vecteur correspondant que nous appelérons $\mathrm {OD,}$ on pourra le prendre pour l’axe à partir duquel se comptent les $\omega .$ Il suffit, pour exprimer cette condition, de faire $\omega =0$ dans la dernière équation. Cela donne $c''={\frac {1}{k}},$ et l’on obtient, pour l’équation de la courbe,

$r={\frac {2k}{e^{p\omega }+e^{-p\omega }}},$