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bien qu’il fasse une infinité de circonvolutions, n’en est pas moins d’une longueur finie et proportionnelle au rayon $r_{1},$ comme on le voit en calculant cet arc par les formules connues.

xvi. Cinquième cas. Si $\mu$ est plus grand que $v_{0}^{2}r_{0}^{2},$ la valeur $c'$ est négative. En changeant $c'$ en $-c',$ on a et

$\operatorname {d} \omega ={\frac {c}{\sqrt {\mu -c^{2}}}}.{\frac {\operatorname {d} z}{\sqrt {z^{2}+{\frac {c'}{\mu -c'}}}}}\,;$

en faisant toujours

${\frac {\sqrt {\mu -c^{2}}}{c}}=p,\qquad {\frac {\mu -c^{2}}{c'}}=k^{2},$

on trouve

$p\operatorname {d} \omega ={\frac {\operatorname {d} z}{\sqrt {z^{2}-{\frac {1}{k^{2}}}}}}.$

Intégrant et mettant $\operatorname {l} c''$ pour constante arbitraire, il vient

$p\omega +\operatorname {l} c''=\operatorname {l} \left(z+{\sqrt {z^{2}-{\frac {1}{k^{2}}}}}\right),$

d’où

$z+{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}=c''e^{p\omega }.$

À cause de

$z-{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {1}{k^{2}}}.{\frac {1}{z+{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}}},$

on tire aussi