calcul d’une manière purement algébrique, but principal que s’est proposé Lagrange dans son Traité des fonctions analitiques.
Nous nous proposons, dans cet article, d’appliquer la méthode où l’on considère les infiniment petits des ordres supérieurs comme nuls, par rapport à ceux des ordres moins é evés, à la recherche de diverses expressions du rayon de courbure des courbes.
Puisqu’une courbe peut être considérée comme un polygone d’une infinité de côtés infiniment petits. Soient deux côtés infiniment petits d’une courbe (fig. 5). Concevons deux droites respectivement perpendiculaires sur les milieux de ces côtés, et concourant en Il est clair que si, de leur point de concours comme centre, et avec sa distance au point pour rayon, on décrit une circonférence, elle passera par les trois points La partie de cette circonférence comprise entre les deux points extrêmes coïncidera avec la partie correspondante de la courbe, dont elle mesurera, pour ainsi dire, la courbure au point car, ne pouvant faire passer qu’un cercle unique par les trois mêmes points, celui qui passe par les trois points approche le plus possible de l’arc de la courbe. Ce cercle unique s’appelle, comme l’on sait, le cercle osculateur, et son rayon est dit le rayon de courbure.
Soient deux axes rectangulaires auxquels la courbe soit rapportée ; soient les ordonnées des points que l’on peut supposer sur la courbe ; soit une perpendiculaire du point sur ; et soit enfin désigné par l’angle ou l’angle que fait la tangente au point avec l’ordonnée
L’angle que font entre elles les tangentes à la courbe aux points sera la différentielle de l’angle ou C’est aussi l’angle que font entre eux les deux rayons de sorte qu’on aura
