Lorsque l’on connaît la courbe parcourue par le point
et l’équation de cette courbe
il est facile de trouver
et d’arriver à la loi que suit l’attraction quand la distance du point
au centre augmente ou diminue. C’est ainsi qu’on démontre, en s’appuyant sur une des lois de Képler, que l’attraction universelle décroît en raison inverse duquarré de la distance. Nous ne reviendrons pas sur ce sujet dont nous avons traité d’une manière suffisamment étendue dans l’article cité. Nous considérerons présentement la question inverse. Ici
est une fonction donnée de
et l’on veut connaître la dépendance réciproque des quantités
c’est-à-dire, avec la nature de la courbe décrite, la loi continuelle de la vîtesse et le lieu du point
pour un temps
pris à volonté. Nous ferons plus tard l’hypothèse particulière
; mais, dans les premiers calculs, on peut laisser
quelconque.
iii. D’abord en faisant
l’équation (2) devient
![{\displaystyle R=c^{2}z^{2}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} \omega ^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d453f1300f8ddb9e8edc72030c902191b3ef662)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {R}{z^{2}}}-c^{2}z=c^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} \omega ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6096f75d8f1449ee2f5f7833de3a51a49dc33d79)
Multipliant par
et intégrant, en observant que
on obtient
![{\displaystyle 2\int {\frac {R\operatorname {d} z}{z^{2}}}-c^{2}z^{2}=c^{2}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \omega }}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8183dd0ced4d8fb68a34922fb300060abadc3d7a)
étant la constante arbitraire. Cette équation donne, à son tour,